Peter Geach, Reason and Argument XVI (mit deutscher Übersetzung)

16. Propositional Logic: Truth-Functions

A proposition — a piece of informative language propounded for consideration — need not be always used to make a statement. As we saw in Chapter 6, there are other uses of argument than inference from asserted premises to an asserted conclusion, and a proposition may figure as premise or conclusion in such argument. It is equally important that a proposition may figure as a part of a longer proposition, and will still have a truth-value when it does so figure. For example: ‘the Earth is flat’ is false; this proposition is still false when it occurs as part of (1) and (2):

It is not the case that the Earth is flat

Jones believes that the Earth is flat

and it is just because it is false that we are warranted in regarding (1) as true and in inferring from (2) that Jones believes something that is not so.

The same form of words may on different occasions be used to propound now a true proposition, now a false one. Even on a single occasion one may be using an ambiguous form of words, or the audience may hear what is uttered as being said in different languages or dialects. What is required for the successful application of logic is not that we should adopt some linguistic conventions making ambiguity impossible, but simply that ambiguity is in fact excluded in the piece of argumentation we are presently conducting. AsQuine has said in Methods of Logic (New York, 3rd ed. 1972, pp. 48-9):

Insofar as the interpretation of ambiguous expressions depends on circumstances of the argument as a whole — speaker, hearer, scene, date, and underlying problem and purpose — the fallacy of equivocation is not to be feared; for, those background circumstances may be expected to influence the interpretation of an ambiguous expression uniformly wherever the expression recurs in the course of the argument. This is why words of ambiguous reference such as ‘I’, ‘you’, ‘here’ ‘Smith’, and ‘Elm Street’ are ordinarily allowable in logical arguments without quali­fication; their interpretation is indifferent to the logical soundness of an argument, provided merely that it stays the same throughout the space of the argument.

In ordinary grammar we are familiar with the idea of a conjunction that joins two clauses to form a sentence. (Logicians prefer the word ‘connective’, because ‘con­junction’ is needed as a technical term.) The primary-school explanation, that a conjunction is any single word that will make good sense in between two sentences (e.g. ‘but’, ‘although’, ‘before’, ‘after’, etc. in the context

I ran to the station . . . the train was gone)

is good enough to start with. But we cannot always regard a sentence formed out of sub-clauses as a proposition formed out of two propositions. E.g.

(3) A married man must work or his family will suffer

The first half of (3), before the ‘or’, looks like a proposition all right. But we cannot treat ‘his family will suffer’ as a proposition, because there’s no sense in trying to find its truth-value. Whether it is true or false that they will suffer depends on who are the people signified by ‘his family’ — but of course no particular family is being thought of, so there’s no question whether ‘they’ really will suffer or not. Again, consider

(4) If a piece of iron is heated it expands

Is it true or false that a piece of iron is heated? Or again: that this piece of iron expands? (Which piece?!) We cannot regard this as having the structure ‘If p then q’, where the letters represent propositions with truth-values: the real structure is:

Any piece of iron/expands when heated.

On the other hand there are plenty of examples where we can represent a proposition in a schema with schematic (propositional) letters for its sub-clauses. E.g.

(5) Socrates was wise and virtuous or Plato was an awful liar.

Schema ‘(p and q) or r’: key of interpretation
p = Socrates was wise, q = Socrates was virtuous, r = Plato was an awful liar. Notice the importance of bracketing: ‘p and (q or r)’ would come out as:

Socrates was wise; and he was virtuous too, or else Plato was an awful liar.

Notice also that if propositions are thus compounded, the compound is itself able to be compounded with other propositions to make more complex propositions.

Propositions identifiable as clauses of longer propositions may or may not be such that their truth-values fix the truth-values of the longer propositions. In a minor work, Lewis Carroll has a professor who makes a great collection of pairs of slips pinned together, with such entries as:

(7) The Head Cook recovered from fever.

(8) The Head Cook took a double dose of fever mixture.

If we abbreviate (7) to ‘p’ and (8) to ‘q’, then even if both are true this doesn’t fix the truth-value of ‘p because q’, or of ‘q and then p’. But ‘It is the case both that p and that q’ must be true if both ‘p’ and ‘q’ are true, and must be false if either or both should be false.

Like many things in logic, this was not always obvious. Aristotle at one time — not always — thought it was a logical error to demand a plain ‘Yes or No’ answer to a question ‘Is it the case both that p and that q?’, because neither answer would be suitable if e.g. ‘p’ were true and ‘q’ false. Bad logic books of today sometimes repeat Aristotle’s mistake, and call the supposed logical error the Fallacy of Many Questions. (If you find this ‘fallacy’ — or the ‘fallacy’ of ad hominem argument, see Chapter 6 — given as a fallacy in a logic textbook, then don’t buy the book!) Such a double question need not embarrass us at all. If you think ‘p’ is true and ‘q’ is false, then the answer you give to ‘Is it the case that both p and q? Yes or no?’ should be a plain No. And if the other fellow tries to make you admit that you’ve denied ‘p’, then he is just being sophistical.

We speak of the way of compounding propositions that we get in ‘It is the case both that p and that q’ as truth-functional. We apply the same term to ‘It is not the case that . . .’, because the result of applying this phrase to a proposition is true/false if the original proposition is false/true.

As we saw, ‘it is not the case that p’ is called the negation or contradictory of the proposition written as ‘p’. We can often get an equivalent by inserting ‘not’ somewhere into the proposition to be negated; but this is not a mechanical or foolproof procedure; e.g. ‘Some men are not wise’ will not do duty for ‘It is not the case that some men are wise’.

‘(It is the case that both) p and q (and r . . .)’ is called the conjunction of the propositions abbreviated to ‘p’,‘q’,(‘r’ . . .), and these propositions are called conjuncts of the conjunction.

The term ‘truth-function’, from which ‘truth-functional’ derives, is a generalization by Frege from the ordinary mathematical use of ‘function’. Given an ordinary mathe­matical function, say the square function or the cube function, we can construct a table showing what the value of the function is for different arguments. (The last word is a technical term, simply to be learned: nothing to do with ‘argument’ in the familiar sense we have used up to now.)

E.g. when the argument x
is 0, 1, 2, 3, 4
the value of x² is 0, 1, 4, 9, 16
and the value of x³ is O, 1, 8, 27, 64

Obviously tables cannot give the values of a numerical function for all arguments. But there are only two truth-values — truth (T) and falsehood (F). So for a pair of propositions we get only four possible assignments of truth-values:

p: T F T F
q: T T F F

If we now have a proposition formed out of ‘p’ and ‘q’ whose truth-value is fixed given merely the truth-values of ‘p’ and ‘q’, we call this proposition a truth-functional compound of ‘p’ and ‘q. For example, conjunction is a truth-functional compound, because we can make a complete table of the
truth-values for ‘p ∧ q’ (short for ‘It is the case both that p and that q’) showing how they are determined by the truth-values of ‘p’ and ‘q’:

p:        T F T F
q:        T T F F
p ∧ q: T F F F

Negation is a truth-functional compound of the proposition negated: we have this truth-table for negation (where the prefix means ‘it is not the case that … ’):

p:   T F
_¬p: F T

Another important truth-functional way of compounding propositions is disjunction. Here there is a minor trouble about how to fill           one place in the truth-table:

p:         T F T F
q:         T T F F
p ∨ q: ? T T F

It is not always clear whether a proposition of the form ‘p or q’ is meant to exclude, or not to exclude, the case where both are true. (It is just silly to discuss which sense of ‘or’ is right: not too silly for some people to discuss it.) We can remove this ambiguity in English by saying ‘p or q, but not both’ for the exclusive sense of ‘or’, and ‘p or q or both’ for the non-exclusive sense. Other languages can make the distinction less clumsily: Latin ‘vel’, Polish ‘lub’, are used mainly for ‘or’ in the non-exclusive sense, and Latin ‘aut’, Polish ‘albo’, for ‘or’ in the exclusive sense. In logical notation we write ‘p v q’ for the non-exclusive ‘or’:

p:         T F T F
q:         T T F F
p ∨ q: T T T F

so that ‘either p or q’ (‘p v q’) and ‘neither p nor q’ (‘¬p ∧¬q) are contradictories. (Check this with truth-tables!) The exclusive ‘or’ can be expressed by:

(p∨ q)∧ (p∧ q).

There is no standard shorthand for this: if we need one, we can write ‘p aut q’.

Truth-functional consequences
Suppose we have an argument-schema satisfying the following conditions:

(i) The schema consists of propositional schematic letters which figure in the premise or premises and the conclusion of the schema either alone or in truth-functional compounds.

(ii) No reading of the letters will make the premises true and the conclusion false.

Then the conclusion is a truth-functional consequence of the premise(s), and any concrete argument got by interpreting the letters will be logically valid.

We can know whether condition (ii) is satisfied, given that we know that condition (i) is satisfied. For by the very meaning of ‘truth-functional compound’ we need not know anything except the truth-values of the propositions we use as readings for the letters in order to determine the truth-values of the premises and the conclusions in the schema; so we need only check the (finitely many) possible assignments of truth-values to the letters in order to see whether condition (ii) is fulfilled — whether there is any such assignment that makes the premises come out all with T and the conclusion with F. If not, the argument schema is valid.

N.B. It would be a gross error to suppose that an argument-schema which does not give a truth-functional consequence is invalid in all its instances — of course one that does give a truth-functional consequence is valid in all its instances. Any two-premise argument is an instance of the schema ‘p,q, therefore r’, and of course this doesn’t give a truth-functional consequence because we can choose true propositions for ‘p’ and ‘q’ and a false one for ‘r’: but some arguments with two premises are valid.

Truth functional tautologies
This term means: truth-functional schemata that always come out with the value T no matter what truth-values are assigned to the letters in them. A simple example is ‘p v ¬p’. If ‘A’ represents a premise (or the conjunction of the premises) of a truth-functional argument schema, and ‘B’ represents the conclusion, then if ‘B’ is a truth-functional consequence of ‘A’, ¬A v B’ and equivalently ‘¬(A ∧¬B)’ will represent a truth-functional tautology: for by the definition ‘truth-functional consequence’, no reading of the letters in the formulas abbreviated as ‘A’ and ‘B ’ will make ‘A’ come out true and ‘B’ come out false, so ‘¬A v B’ and ‘¬(A ∧¬B)’ always come out true. ‘E.g. ‘p, q, ergo (p aut q) aut (p v q)’ is valid — the conclusion is a truth-functional consequence of the premises — so ‘¬(p ∧q) v ((p aut q) aut p v q))’ is a truth-functional tautology. (Check that the schema given is a valid schema.)

Ordinary language varieties of truth-functional compounds
Conjunction may be represented by ‘and’ pure and simple, or again by ‘but’ or ‘although’: the use of ‘but’ or ‘although’ before a clause ‘does not change the sense of the clause but only throws light on it in a peculiar way’ (Frege). — N.B.: clauses joined by any of these connectives, even the plain ‘and’, may not be propositions with assignable truth-values and may not be forming a truth-functional compound.

Disjunction may be represented by ‘unless’ rather than ‘or’:

You will get that cannon in position or half of you will be shot.
Unless you get that cannon in position, half of you will be shot.

16. Aussagenlogik: Wahrheitsfunktionen

Eine Aussage – ein Stück sprachlicher Information, das unserer Begutachtung vorgeschlagen wird – muss nicht immer im Gewand eines behauptenden Satzes daherkommen. Wie im 6. Kapitel gezeigt, können wir gültige Folgerungen auch von nicht behauptenden Aussagen auf nicht behauptete Schlüsse vornehmen. Eine Aussage kann also jederzeit ohne behauptende Kraft als Prämisse oder Konklusion auftauchen. Gleichermaßen gilt es zu beachten, dass eine Aussage einen Teil einer längeren Aussage darstellen kann, auch in diesem Falle verfügt sie über einen Wahrheitswert. Zum Beispiel bleibt die Aussage „Die Erde ist flach“ falsch, ob sie in nun als Teil der Aussage (1) oder der Aussage (2) erscheint:

(1) Es ist nicht der Fall, dass die Erde flach ist.
(2) Peter glaubt, dass die Erde flach ist.

Und nur deshalb weil die Teilaussage falsch ist, sind wir berechtigt, die Gesamtaussage (1) als wahr zu betrachten und aufgrund der Gesamtaussage (2) zu folgern, dass Peter etwas glaubt, was nicht der Fall ist.

Dieselbe Wortfolge kann bei der einen Gelegenheit eine wahre, bei einer anderen Gelegenheit eine falsche Aussage darstellen. Selbst bei ein und derselben Gelegenheit können wir eine mehrdeutige Wortfolge benutzen oder etwas in einer fremden Sprache oder einem fremden Dialekt vernehmen. Um erfolgreich Logik zu treiben, müssen wir nicht gleich sprachliche Konventionen aufstellen, die jedwede Form der Mehrdeutigkeit ausschließen. Es genügt, dafür zu sorgen, dass in der Folge von Argumenten, die wir gerade vortragen, Mehrdeutigkeiten beseitigt sind. Quine drückt es in seinem Buch Methoden der Logik so aus (Methods of Logic, New York, 3. Auflage, 1972, S. 48–9):

Insofern als die Interpretation mehrdeutiger Ausdrücke von den Umständen abhängt, in denen das Argument als Ganzes geäußert wird – vom Hörer, der Umgebung, dem Datum, den unausgesprochenen Fragen und Absichten –, bilden die Mehrdeutigkeiten der verwendeten sprachlichen Ausdrücke keine Gefahr für das Verständnis. Denn diese einherspielenden Umstände werden die Interpretation der mehrdeutigen Ausdrücke immer dann gleichförmig beeinflussen, wenn diese im Verlaufe des Argumentes wieder auftauchen. Deshalb ist der Gebrauch von Wörtern mit mehrdeutigem Bezug wie „ich“, „du“, hier“, „Herr Müller“ und „Ulmenallee“ im Normalfall in logischen Argumenten ohne Einschränkung erlaubt. Ihre Interpretation tut der logischen Gültigkeit des Argumentes keinen Abbruch, wenn wir nur dafür sorgen, dass ihre Interpretation über die ganze Strecke der Argumentation hin identisch bleibt.

In der Umgangssprache begegnen wir Verbindungen von Teilsätzen zu ganzen Sätzen mittels Konjunktionen. (Logiker bevorzugen statt des grammatischen Begriffs Konjunktion den logischen Begriff Junktor und nennen die Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren Konjunktion.) Wir fahren zunächst gut mit der schulmäßigen Definition: Eine Konjunktion ist ein Wort, das zwei Sätze sinnvoll verknüpft. So können wir die Konjunktionen „obwohl“, „bevor“, „nachdem“ und andere sinnvoll in folgenden Kontext einfügen:

Ich rannte zum Bahnhof … der Zug bereist abgefahren war.

Aber es ist nicht immer möglich, ein aus Teilsätzen zusammengesetzter Satz als Aussage zu betrachten, die aus zwei echten Aussagen zusammengesetzt ist. Nehmen wir als Beispiel:

(3) Ein verheirateter Mann muss arbeiten oder seine Familie hat zu leiden.

Der erste Teil des Satzes bis zur Konjunktion „oder“ blickt uns wie ein echter Satz an. Doch der Rest „oder seine Familie hat zu leiden“ lässt uns auf der Suche nach seiner Satzförmigkeit im Stich, denn wir können nicht auf Anhieb sagen, ob oder wann er wahr (oder falsch) ist. Das wüssten wir nur, wenn wir auch wüssten, um welche Familie es sich handelt – indes spricht der Satz offensichtlich von keiner wirklichen Familie, und darum steht es dahin, ob „seine Familie“ zu leiden hat oder nicht. Betrachten wir weiterhin folgenden Satz:

(4) Wenn ein Stück Eisen erhitzt wird, nimmt es an Volumen zu.

Sagt der Satz, (dass es wahr ist) dass ein bestimmtes Stück Eisen sich jetzt ausdehnt? Aber welches Stück Eisen denn? Wir können diese Aussage nicht als Konjunktion von zwei Aussagen verstehen, die beide unabhängig voneinander einen Wahrheitswert tragen und tragen könnten. Vielmehr ist die wahre Struktur des Satzes:

Jedes Stück Eisen dehnt sich aus, wenn es erhitzt wird.

Andererseits gibt es viele Beispiele für Aussagen, deren Teilsätze wir mittels schematischer Buchstaben logisch analysieren können. Nehmen wir den Satz:

(5) Sokrates war weise und rechtschaffen oder Platon war ein schlimmer Lügner.

Wir schematisieren den Satz wie folgt: „(p und q) oder r“

p = Sokrates war weise
q = Sokrates war rechtschaffen
r = Platon war ein schlimmer Lügner

Vorsicht beim Umgang mit den Klammern: „p und (q oder r)“ heißt etwas anderes, wir lesen so:

(6) Sokrates war weise, und Sokrates war rechtschaffen oder Platon war ein schlimmer Lügner.

Wir sehen: Aussagen, die auf diese Weise logisch korrekt schematisiert werden können, lassen sich zu komplexen Aussagen verknüpfen, die auf dieselbe Weise schematisiert werden.

In komplexen Aussagen können die Teilaussagen durch ihre jeweiligen Wahrheitswerte den Wahrheitswert der Gesamtaussage festlegen; sie müssen es aber nicht. In einem kleineren Werk beschreibt Lewis Carroll einen Professor, der eine große Sammlung von Zetteln anlegt, wobei er je zwei zusammenheftet, die jeweils mit Aufschriften folgender Art versehen sind:

(7) Der Chefkoch erholte sich vom Fieber.
(8) Der Chefkoch nahm eine doppelte Dosis des Fiebermittels.

Wenn wir (7) durch „p“ schematisieren und (8) durch „q“, dann legt die Tatsache, dass beide Sätze wahr sind, nicht die Wahrheit einer so gebildeten Gesamtaussage fest: „p, weil q“ oder „q und dann p“. Aber die Aussage „Es ist der Fall, dass sowohl p als auch q“ muss wahr sein, wenn sowohl p als auch q wahr sind, und sie muss falsch sein, wenn entweder sowohl p und q falsch sind oder wenn nur p oder q falsch ist.

Wie vieles in der Logik, war das nicht immer klar. Aristoteles geht manchmal – nicht immer – davon aus, dass es logisch unstimmig sei, auf die Frage „Ist es der Fall, dass sowohl p als auch q?“ mit einem eindeutigen „Ja oder Nein“ zu antworten, weil weder die Ja-Antwort noch die Nein-Antwort verträglich mit dem Fall sei, dass p wahr und q unwahr wäre. Schlechte Logiklehrbücher verbreiten diesen Irrtum des Aristoteles heute immer noch, sie haben sogar einen eigenen Terminus für den angeblichen Irrtum aufgetischt und nennen ihn „Trugschluss der vielen Fragen“. (Wenn du diesen „Trugschluss“ – oder den im 6. Kapitel behandelten „Trugschluss“ ad hominem – im Register eines Logiklehrbuchs entdecken solltest, kaufe es nicht!) Solche Doppel-Fragen machen uns kein Kopfzerbrechen. Wenn du annimmst, dass p wahr und q falsch ist, sollte deine Antwort auf die Frage „Ist es der Fall, dass sowohl p als auch q?“ ein glattes Nein sein. Und wenn dein Gesprächspartner dich mit dem Hinweis aufs Glatteis führen will, du habest mit dieser Antwort p verneint, dann entlarvt er sich als wahren Sophisten.

Wir nennen komplexe Aussagen wie „Es ist der Fall, dass sowohl p als auch q“ wahrheitsfunktional. Wir nennen so auch die komplexe Aussage „Es ist weder der Fall, dass p, noch dass q“, denn die Negation einer wahren Aussage ist bekanntlich falsch, die einer falschen wahr.

Wir sahen: „Es ist nicht der Fall, dass …“ bildet die Verneinung oder den kontradiktorischen Gegesatz zu unserer ursprünglichen Aussage p. Wir können die Negation oft auch dadurch markieren, dass wir ein „nicht“ oder „kein“ irgendwo in den Satz p einschreiben. Aber dies führt nicht automatisch zum richtigen Ergebnis. So bedeutet „Einige Menschen sind nicht weise“ nicht dasselbe wie „Es ist nicht der Fall, dass einige Menschen weise sind“ (Im ersten Falle sind doch noch einige Menschen weise, im letzten nicht einer.)

„Es ist der Fall, dass sowohl p als auch q und r“ ist das logische Schema einer Konjunktion der mit p, q, r abgekürzten Aussagen. Die Teilaussagen einer Konjunktion heißen Konjunkte.

Der Fachterminus „Wahrheitsfunktion“, von dem „wahrheitsfunktional“ abgeleitet ist, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Funktionsbegriffs durch Frege. Für jede gewöhnliche mathematische Funktion wie die zweite oder dritte Potenz können wir eine Tabelle konstruieren, so dass in der einen Spalte der Wert eines Arguments und in der zweiten Spalte der entsprechende Funktionswert einzutragen ist (Argument ist hier ein feststehender Begriff und hat nicht die bekannte Bedeutung „logisches Argument“). Geben wir ein Beispiel:

Argumentwert x:   0, 1, 2, 3, 4
Funktionswert x²: 0, 1, 4, 9, 16
Funktionswert x³: 0, 1, 8, 27, 64

Wegen der Tatsache, dass es keine größte Zahl gibt, können wir die Funktionswerte von Zahlen als Argumentwerte nicht vollständig tabellarisch darstellen. Aber in der Logik haben wir nur zwei Wahrheitswerte, Wahrheit (W) und Falschheit (F). Für ein Paar von Sätzen p und q erhalten wir daher vier mögliche Kombinationen von Wahrheitswerten:

p: W F W F
q: W W F F

Wenn wir eine komplexe Aussage mit p und q als Teilaussagen vor uns haben und der Wahrheitswert der Gesamtaussage festgelegt ist durch die jeweiligen Wahrheitswerte der Teilaussagen p und q, nennen wir diese Aussage eine wahrheitsfunktionale Verknüpfung der Aussagen p und q. So ist die Konjunktion der Aussagen p und q eine wahrheitsfunktionale Verknüpfung, denn wir können eine vollständige Tabelle mit den Wahrheitswerten für „p ∧ q“(Schema für „Es ist der Fall, dass sowohl p als auch q“) bilden, die uns zeigt, wie die Wahrheitswerte der Gesamtaussage funktional von den Wahrheitswerten der Teilaussagen festgelegt werden:

p:        W F W F
q:        W W F F
p ∧ q: W F F F

Die Verneinung ist eine wahrheitsfunktionale Verbindung mit der verneinten Aussage. Wir erhalten folgende Wahrheitswertetabelle für die Negation (bei der das Negationszeichen ¬ bedeutet: „Es ist nicht der Fall, dass …“):

p:   W F
¬p: F W

Eine andere wichtige wahrheitsfunktionale komplexe Aussage ist die Disjunktion. Hier taucht die Frage auf, wie wir die erste Stelle in unserer Wahrheitswertetabelle bewerten und markieren sollen:

p:         W F W F
q:         W W F F
p ∨ q: ? W W F

Es scheint nicht von vornherein klar zu sein, ob wir bei der Aussage „p oder q“ den Fall, dass sowohl p als auch q wahr sind, ausschließen oder nicht ausschließen sollen. (Es ist natürlich dumm, darüber zu streiten, welche Bedeutung „oder“ eigentlich hat, doch für einige Leute, die gern darüber streiten, ist es nicht zu dumm.) Wir können die Zweideutigkeit im Deutschen ausräumen, indem wir formulieren: „p oder q, aber nicht beide“, um eine Aussage mit ausschließendem Oder zu erhalten. Wir formulieren dagegen „p oder q, oder beide“, um eine Aussage mit nicht ausschließendem Oder zu erhalten. In anderen Sprachen kann man den Unterschied weniger schwerfällig ausdrücken: durch „vel“ im Lateinischen und „lub“ im Polnischen für das nicht ausschließende Oder, durch „aut“ im Lateinischen und „albo“ im Polnischen für das ausschließende Oder. In der Logik halten wir uns an die Notation „p ∨ q“ für das nicht ausschließende Oder:

p:         W F W F
q:         W W F F
p ∨ q: W W W F

„Entweder p oder q“ (p ∨ q) und „Weder p noch q“ (¬p ∧ ¬ q) sind kontradiktorische Gegensätze.

Das ausschließende Oder können wir wie folgt darstellen:

(p ∨ q) ∧¬(p ∧ q)

Wir haben keine Standardabkürzung für diesen Fall. Der Bequemlichkeit halber können wir schreiben: p aut q.

Wahrheitsfunktionale Folgerungen

Nehmen wir an, wie haben ein Argumentschema, das folgende Bedingungen erfüllt:

(i) Das Schema besteht aus schematischen Buchstaben, die in der Prämisse (oder den Prämissen ) und der Konklusion des Schemas für Einzelaussagen oder für eine wahrheitsfunktionale Gesamtaussage stehen.
(ii) Keine Interpretation der Buchstaben ist erlaubt, die die Prämissen wahr, die Konklusion dagegen falsch macht.

In diesem Falle ist die Konklusion eine wahrheitsfunktionale Folgerung aus den Prämissen, und jede besondere Interpretation der Buchstaben stellt ein gültiges logisches Argument dar.

Wir können wissen, ob die Bedingung (ii) erfüllt ist, wenn wir wissen, dass die Bedingung (i) erfüllt ist. Denn kraft der Bedeutung des Ausdrucks „wahrheitsfunktionale komplexe Aussage“ genügt uns einzig die Information über die Wahrheitswerte der Teilaussagen, die wir für die schematischen Buchstaben einsetzen, um die Wahrheitswerte der Prämissen und der Konklusion des Schemas festzulegen. Schließlich müssen wir nur überprüfen, welche der (endlich vielen) möglichen Verteilungen der Wahrheitswerte die Wahrheitsbedingung (ii) erfüllen: Wir schauen insbesondere nach, ob es irgendeine Verteilung von Wahrheitswerten gibt, bei der die Prämissen sich alle als wahr, die Konklusion aber als falsch erweist. Wenn dieser Fall ausscheidet, wissen wir: Das Argument ist gültig.

Notabene: Es wäre ein grober Irrtum anzunehmen, dass ein Argumentschema, das keine wahrheitsfunktionale Folgerung für uns abwirft, für alle Interpretationen ungültig wäre, nur weil ein Argumentschema, das eine wahrheitsfunktionale Folgerung für uns bereithält, für alle Interpretationen gültig ist. Jedes Argument mit zwei Prämissen ist eine Interpretation des Schemas „p, q, deshalb r“. Und dieses Schema wirft in der Tat keine wahrheitsfunktionale Folgerung für uns ab, weil wir für p und q wahre Aussagen und für r eine falsche Aussage einsetzen können. Trotzdem werden einige Argumente dieser Form gültig sein.

Wahrheitsfunktionale Tautologien

Dieser Fachterminus bezeichnet wahrheitsfunktionale Schemata, die immer den Wert W auswerfen, gleichgültig welche Wahrheitswerte ihre Teilaussagen tragen. Ein einfaches Beispiel: p v ¬p. Wenn A die Prämisse (oder die Konjunktion aus Prämissen) innerhalb eines wahrheitsfunktionalen Argumentschemas darstellt, und B die Konklusion darstellt, dann gilt, wenn B eine wahrheitsfunktionale Folgerung aus A ist: ¬A v B und damit gleichwertig ¬(A ∧¬B) sind wahrheitsfunktionale Tautologien. Denn kraft der Definition von „wahrheitsfunktionaler Tautologie“ kann keine Interpretation der mittels der schematischen Buchstaben A und B abgekürzten Formeln zum Ergebnis haben, dass A wahr und B falsch ist, also ist ¬A v B und ¬(A ∧¬B) immer wahr. Beispiel: p, q, ergo: (p aut q) aut (p v q) ist gültig – die Konklusion ist eine wahrheitsfunktionale Folgerung aus den Prämissen – demnach ist ¬(p ∧ q) v ((p aut q) aut (p v q)) eine wahrheitsfunktionale Tautologie.

Abwandlungen von wahrheitsfunktionalen komplexen Aussagen in der Umgangssprache

Konjunktionen der Umgangssprache können einfach durch „und“ angezeigt werden, aber auch durch „aber“ und „obwohl“ – der Gebrauch von „aber“ und „obwohl“ vor einem Nebensatz ändert den Sinn des Satzes nicht, sondern gibt ihm eine spezielle Beleuchtung (Frege).

Notabene: Nebensätze, die durch solche Konjunktionen eingeleitet werden, selbst solche, die durch „und“ verbunden werden, stellen nicht in allen Fällen wahrheitsfunktionale komplexe Aussagen dar.

Disjunktionen können auch gut durch „wenn nicht“ statt „oder“ dargestellt werden:

Du wirst der Kanone habhaft werden oder die Hälfte eurer Mannschaft wird fallen.
Wenn du der Kanone nicht habhaft wirst, wird die Hälfte der Mannschaft fallen.