Peter Geach, Reason and Argument VI (mit deutscher Übersetzung)

6. Uses of Argument

Drawing conclusions from accepted premises in order to reach conclusions that you can accept and propound for acceptance is only one use of inference. Other uses of valid arguments are the following:

1. Working out the consequences of imaginary cases, e.g. in school arithmetic or algebra problems or in puzzle books or in composing fiction. This use of argument is very familiar to us, but allegedly some men of primitive cultures find it very hard to grasp; and of course we had to learn it ourselves. Littlewood, the Cambridge mathematician, tells a story of a schoolmaster who began stating a problem: ‘Suppose y is the number of eggs —’ ‘But Sir, please Sir, suppose y isn’t the number of eggs?’ (Why is this question absurd?)

2. Testing the consequence of a supposition when you haven’t yet committed yourself either way. If by validly drawing conclusions you arrive at a false result (e.g. one flatly contrary to observation) then if you are certain of all the other premises employed you know the supposition under test is false. If on the other hand you never come across a false conclusion the supposition under test is thus far confirmed. (This is called the hypothetico-deductive method: it is of use even in pure mathematics.)

3. Ad hominem arguments. This Latin term indicates that these are arguments addressed to a particular man — in fact, the other fellow you are disputing with. You start from something he believes as a premise, and infer a conclusion he won’t admit to be true. If you have not been cheating in your reasoning, you will have shown that your opponent’s present body of beliefs is inconsistent and it’s up to him to modify it somewhere. — This argumentative trick is so unwelcome to the victim that he is likely to regard it as cheating; bad old logic books even speak of the ad hominem fallacy. But an ad hominem argument may be perfectly fair play.

Let us consider a kind of dispute that might easily arise:

A. Foxhunting ought to be abolished; it is cruel to the victim and degrading to the participants.
B. But you eat meat; and I’ll bet you’ve never worried about whether the killing of the animals you eat is cruel to them and degrading to the butchers.

No umpire is entitled at this point to call out ‘Ad hominem! foul!’ It is true that B’s remark does nothing to settle the substantive question whether foxhunting should be abolished; but then B was not pretending to do this; B was challengingly asking how A could consistently condemn foxhunting, without also condemning something A clearly does not wish to condemn. Perhaps A could meet the challenge, perhaps not; anyhow the challenge is a fair one — as we saw, you cannot just brush aside a challenge to your consistency, or say inconsistency doesn’t matter.

Ad hominem arguments are not just a way of winning a dispute: a logically sound ad hominem argument does a service, even if an unwelcome one, to its victim — it shows him that his present position is untenable and must be modified. Of course people often do not like to be disturbed in their comfortable inconsistencies; that is why ad hominem arguments have a bad name.

4. Reductio ad absurdum. If a reasoner employs some premise or premises that he has only assumed for the sake of argument, then in general he is not committed to asserting the conclusion that he draws from these; like Alice who protested ‘I only said “If” ’, he may say ‘I only said Suppose” — if he didn’t assert his premises, he is not bound to assert his conclusion and not entitled to say he has given a proof of it. But there is one important exception.

Consider a man who asserts premises P and Q and now adds a third premise R just as a supposition. If from the premises P, Q, and R all together the falsehood of R logically follows, then the reasoner’s assertion of P and Q warrants him in going on to assert that R is false, and in offering this as a proved conclusion to anyone who agrees in accepting P and Q. For if R could be asserted along with P and Q, the set of asserted premises P, Q, R would logically lead to the assertion both of R and of R’s falsehood, and this is absurd. This powerful argumentative move is called reductio ad absurdum.

We must carefully notice that in drawing a conclusion by reductio ad absurdum the reasoner is not revoking a false move of assuming R; he never did assert R, and to assume a premise for the sake of argument is in no case a mistake. Of course it is possible for a man to begin by asserting P, Q, and R and then discover that the falsehood of R follows; in this case he has made a mistake, and must put it right by going back on the assertion of one or other premise; he cannot acquiesce in self-contradiction.

An example from the topic of testimony which we were considering just now may serve to show the difference between a sound reductio ad absurdum procedure and a lapse into muddle and self-contradiction. Many of us have heard the story of psychological experiments to show how inaccurately eye-witnesses will report a series of incidents. So far as I am concerned these stories are mere hearsay; I have never met anyone who claimed to have been present on such an occasion. But suppose I had met such a person, M.N. Then I could reason as follows:

M.N. claims to have witnessed such-and-such psychological experiments.
Let us suppose that eye-witness testimony is never seriously unreliable.
Then such-and-such experiments had the results that M.N. reports.
But if the results were such as M.N. reports, some eye-witness testimony is seriously unreliable (because the eye-witness testimony of the people used as subjects of the experiment will have turned out to be so).
So, some eye-witness testimony is seriously unreliable.

This argument is a sound reductio ad absurdum, and would warrant one in asserting its conclusion. Notice that in drawing the conclusion I do not assert the premise that eye-witness testimony is reliable in order to draw the conclusion that it is not; what I assert about M.N. is not that he reliably gave such-and-such testimony, but only that he gave it — and if he was inaccurate or mendacious in giving it, then so far from throwing doubt on my conclusion this confirms it.

On the other hand, people often appear prepared to believe without question the accounts given of such experimental results, and to say that here there is ‘scientific proof’ that eye-witness testimony, e.g. in law-courts, is unreliable. It is very difficult to make sense of such a position. Probably those who maintain it will be going by hearsay, which on any view is less reliable than eye-witness testimony; but even in the most favourable case, that they have heard or read an eye-witness of the experiments, they are indefensibly inconsistent. For in order to be warranted in asserting that the experiments happened as described, they have to assert the reliability of this eye-witness; but the ultimate conclusion casts doubt on the testimony of eye-witnesses; and then what makes the position different for the eye-witness of these experiments? The mere fact of his evidence, as we have seen, affords a valid reductio ad absurdum proof that eye-witness testimonies may be very unreliable; but then just on that account we can and should be chary of believing all the tales emanating from psychology labs. (Some such tales — like the tale I once heard of a young ape that could talk just like a young human child — bear the stamp of fraud or self-deception upon their face.)

Reductio ad absurdum is a tool for obtaining knowledge, not just a good dialectical trick. G.H. Hardy the Cambridge mathematician said that reductio ad absurdum is a much more brilliant move than any chess sacrifice; in order to win the game, you offer, not some major piece, but the game. An example of a particularly brilliant move comes in Euclid. Euclid attacks the problem whether the prime numbers — which become rarer and rarer as we go on in the number series — finally peter out altogether: whether there is a biggest prime number, beyond which there are no more prime numbers. He proves that there is no biggest prime number by assuming that there is one! Suppose P is the biggest prime number. Then multiply together all the prime numbers up to and including P, and add 1. The resulting number, N say, clearly has not as a prime factor any of the prime numbers up to P; for there will upon division always be a remainder 1 (1 itself does not count as a prime number). So this number N will have some prime factor bigger than P; N may of course be prime itself, but then N is obviously bigger than P, so it makes no difference if N is its own only prime factor. So P is not the biggest prime number. We have reached this result by assuming (not asserting) that P is the biggest prime number, and using along the way some obvious truths about numbers, which we asserted; we are now entitled to assert that P is not the biggest prime number, regardless of which number P may be — i.e. that there is no biggest prime number.

6. Wie wir Argumente verwenden

Schlussfolgern von anerkannten Prämissen in der Absicht, Konklusionen zu gewinnen, die du selbst akzeptierst und gerne anderen nahelegst, ist nur eine Art, Argumente zu verwenden. Andere Arten, gültige Argumente zu verwenden, sind die folgenden:

1. Wir ziehen die logischen Folgen aus imaginären Fällen und Gedankenspielen, zum Beispiel beim Rechnen in der Schule oder bei algebraischen Aufgaben, beim Lösen von Rätseln oder bei der Verfertigung eines literarischen Textes. Diese Verwendung logischen Denkens in Form von Argumenten ist uns sehr vertraut, doch scheinen einige Leute von geringer Bildung Schwierigkeiten damit zu haben; und es stimmt, auch wir selbst mussten die Sache lernen. John E. Littlewood, der Cambridger Mathematiker, begann eine Vorlesung mit einer Aufgabenstellung: „Nehmen wir an, y sei die Anzahl der Eier –“ „Aber, Herr Professor, was ist, wenn y nicht die Anzahl der Eier ist?“ (Warum ist diese Frage sinnlos?)

2. Wir überprüfen die Folgen einer Hypothese, bevor wir uns dafür oder dagegen aussprechen. Wenn du die logischen Folgen korrekt ermittelst und bei einem falschen Ergebnis landest (zum Beispiel könnte die Beobachtung dir das Gegenteil verraten), dann kannst du bei der Korrektheit aller sonst noch verwendeten Prämissen mit Sicherheit davon ausgehen, dass die überprüfte Hypothese falsch ist. Wenn du aber bisher bei keinem Test auf eine falsche logische Ableitung gestoßen bist, dann ist die Hypothese bis auf weiteres bestätigt. (Dieses Testverfahren heißt hypothetisch-deduktive Methode, es wird auch in der reinen Mathematik verwendet.)

3. Argumentum ad hominem. Dieser lateinische Ausdruck bedeutet, dass solche Argumente an einen einzelnen Menschen gerichtet sind – also zumeist an den Gesprächspartner. Du greifst eine Behauptung auf, die er als Prämisse setzt, und leitest davon eine Konklusion ab, deren Wahrheit er bestreitet. Wenn du keine üblen Tricks angewandt hast, hast du deinem Partner damit die Tatsache vor die Nase gerieben, dass im Corpus seiner Annahmen der Wurm namens Inkonsistenz steckt, und es ist an ihm, ihn herauszuziehen. – Dieser Kunstgriff in der Verwendung von Argumenten ist dem Opfer dermaßen peinlich, dass er ihn wahrscheinlich als Betrugsmanöver hinstellen wird. Schlechte Logiklehrbücher aus alten Zeiten sprechen hier gern von dem Trugschluss ad hominem. Doch kann das Argument ad hominem Fair Play im besten Sinne sein.

Wir wollen uns einen gelinden Disput anschauen, wie er leicht entstehen kann:

A: Die Fuchsjagd sollte abgeschafft werden; sie ist grausam gegenüber dem Opfer und entehrt die Teilnehmer.
B: Du bist doch Fleischesser; ich wette, du hast dir noch nie Gedanken darüber gemacht, ob das Schlachten der Tiere, die du verzehrst, nicht grausam ist und die Schlächter entehrt.

Kein Schiedsrichter darf an diesem Punkt vortreten und ausrufen: „Foul, ein Argumentum ad hominem!“ Es stimmt zwar, dass Bs Bemerkung auf keine Weise zur Lösung der Rechtsfrage beiträgt, ob die Fuchsjagd verboten werden solle; aber B hatte dies auch gar nicht im Sinn. B verfolgte vielmehr mit seiner Frage die Absicht, A mit der Nase darauf zu stoßen, dass er nicht konsistenterweise einerseits die Fuchsjagd verdammen kann, ohne gleichzeitig etwas zu verdammen, zu dessen Verdammung er keinerlei Wunsch verspürt. Vielleicht kann A den Angriff parieren, vielleicht auch nicht; wie dem auch sei, die Herausforderung ist jedenfalls fair – wir sahen ja, dass wir den Wurm namens Inkonsistenz im Corpus unserer Annahmen nicht einfach ignorieren können, als ob Inkonsistenz unter ferner liefen abgetan werden könnte.

Argumente ad hominem sind keine schlauen Techniken, mit denen man als Sieger aus Diskussionen hervorgeht. Ein logisch sauberes Argument ad hominem leistet dem Unterlegenen einen Dienst, auch wenn er ihn nur ungern annimmt: Es macht ihm klar, dass seine gegenwärtige Behauptung unhaltbar ist und verändert werden muss. Natürlich mögen die Leute es nicht, wenn sie aus dem Faulbett ihrer bequemen Inkonsistenzen aufgescheucht werden – deshalb eilt Argumenten ad hominem ein schlechter Ruf voraus.

4. Reductio ad absurdum. Wenn jemand bei seinen Erwägungen eine oder mehrere Prämissen nur zum Zwecke der Aufstellung einer Schlussfolgerung gebraucht, ist er im Allgemeinen nicht gehalten, die Konklusion, die er aus ihnen zieht, zu bejahen. Ähnlich wie Alice im Wunderland, die beteuert: „Ich sagte nur »Wenn!«“, mag er sagen: „Ich sagte nur „»Nehmen wir einmal an«!“ – wenn er seine Prämissen nicht ausdrücklich bejaht, muss er auch nicht seine Schlussfolgerung bejahen, aber dann ist er auch nicht zu der Behauptung berechtigt, er habe die Wahrheit der Konklusion bewiesen. Doch es gibt eine wichtige Ausnahme.

Betrachten wir folgenden Fall: Jemand bejaht die Prämissen P und Q – dann formuliert er noch eine zusätzliche Prämisse R, er stellt sie gleichsam in den logischen Möglichkeitsraum, ohne sie zu bejahen. Wenn aus den genannten Prämissen P, Q und R zusammen die Falschheit von R logisch abgeleitet werden kann, dann berechtigt uns die Bejahung der Prämissen P und Q dazu, die Unwahrheit der Prämisse R zu bejahen – dieses Ergebnis muss jedem als erwiesene Schlussfolgerung einleuchten, der nur immer die Prämissen P und Q als wahr voraussetzt. Würde man R allerdings gemeinsam mit den wahren Prämissen P und Q als wahre Prämisse bejahen, würden die wahren Prämissen P, Q und R notwendig zu dem Schluss führen, dass R unwahr ist. Wir hätten also R als wahr vorausgesetzt und unsere logische Ableitung erweist R gleichzeitig als unwahr. Das aber ist absurd oder logisch sinnlos. Diesen wirkungsvollen Zug im Argumentationsspiel nennen wir reductio ad absurdum.

Es gilt, sorgfältig zu beachten, dass wir bei einer Schlussfolgerung durch reductio ad absurdum nicht zunächst R als unbewährte Prämisse in den Raum stellen, um sie anschließend als logisch falsch erwiesenen Satz zurückzunehmen. Wir haben R ja nie und nimmer als wahre Prämisse bejaht, und eine beliebige Prämisse zur Aufstellung eines Arguments anzunehmen ist in keinem Falle ein Fehler. Natürlich könnte ein anderer hingehen und mir nichts, dir nichts P, Q und R gemeinsam als wahre Prämissen ausgeben und dann vor dem Schluss stehen, dass R unwahr ist. In diesem Falle hat er allerdings einen Fehler begangen und er muss die Sache bereinigen, indem er die Bejahung der einen oder anderen Prämisse zurücknimmt – im Faulbett des Selbstwiderspruchs sollte er sich nicht lange lümmeln.

Wir wollen uns an einem Beispiel aus dem Bereich der Zeugenschaft, die wir eben betrachtet haben, den Unterschied zwischen einer korrekten reductio ad absurdum und einem bloßen Stolpern in Verwirrung und Selbstwiderspruch klar machen. Viele unter uns haben von den psychologischen Experimenten gehört, die zeigen sollen, wie ungenau Augenzeugen einen Tathergang wiedergeben. Ich kenne solche Berichte allerdings nur vom Hörensagen; mir ist nie jemand begegnet, der behauptete, bei einer solchen Gelegenheit zugegen gewesen zu sein. Doch nehmen wir einmal an, ich hätte eine solche Person getroffen, Herrn Karl. Dann könnte ich folgende Überlegungen anstellen:

Herr Karl behauptet, Zeuge dieser und jener psychologischen Experimente gewesen zu sein.
Nehmen wir für unser Argument einmal an, die Berichte von Augenzeugen seien niemals völlig unzuverlässig.
Dann haben diese und jene psychologische Experimente die Ergebnisse, die Herr Karl als Augenzeuge darlegt.
Doch gemäß den Ergebnissen der psychologischen Experimente, die Herr Karl uns darlegt, sind einige Berichte von Augenzeugen nicht völlig zuverlässig.
Daraus folgt: Einige Berichte von Augenzeugen sind völlig unzuverlässig.

Das ist eine korrekte reductio ad absurdum. Sie gibt mir die Berechtigung, die Wahrheit der Konklusion zu bejahen. Ich mache darauf aufmerksam, dass ich bei der Schlussfolgerung nicht die Prämisse bejaht habe, dass die Berichte von Augenzeugen zuverlässig sind, um dann in der Konklusion das glatte Gegenteil zu behaupten, nämlich dass sie es nicht sind. Was ich in Bezug auf Herrn Karl annahm, war nicht, dass er mir einen zuverlässig Bericht als Augenzeuge vortrug, sondern nur dass er mir etwas erzählt hat – und falls er dabei ungenau war oder gelogen hat, wird diese Tatsache keinen Zweifel auf meine Schlussfolgerung werfen, sondern sie im Gegenteil bestätigen.

Auf der anderen Seite scheinen die Leute gern bereit, die Berichte über die Ergebnisse solcher Experimente fraglos zu schlucken, und sie reden dann gern davon, es gebe „wissenschaftliche Beweise“ dafür, dass Augenzeugen, zum Beispiel vor Gericht, unzuverlässige Berichte abgeben. Es ist ziemlich schwer, dieser Position einen Sinn abzugewinnen. Vor allem, wenn man sich nur auf das Hörensagen verlassen hat, was doch wirklich weniger zuverlässig ist als die Augenzeugenschaft selbst. Aber auch im günstigsten Falle, wenn die Leute Berichte eines Augenzeugen der Experimente gehört oder gelesen haben, bleiben sie doch unrettbar im Selbstwiderspruch befangen. Denn sie müssen ja die Zuverlässigkeit dieses Augenzeugen bejahen, wenn sie berechtigt sein wollen, seinen Bericht über die Experimente als zuverlässig und wahr zu bejahen. Aber das letzte Ergebnis der Experimente wirft Zweifel auf die Zuverlässigkeit von Augenzeugen. Und wie steht es um die Zuverlässigkeit der Augenzeugen dieser Experimente selbst? Wie wir sahen, hatte das Argument durch eine reductio ad absurdum das klare Ergebnis gebracht, dass Augenzeugenschaft ziemlich unzuverlässig sein kann. Dann aber können und sollten wir uns angesichts dieser Lage hüten, unbesehen all die Märchen zu glauben, die aus den psychologischen Laboren flattern. (Manche dieser Märchen – wie das von dem jungen Affen, der sprechen konnte wie ein menschliches Kind – tragen das Siegel des Betrugs oder der Selbsttäuschung auf ihrer Stirn.)

Die reductio ad absurdum ist ein Werkzeug zum Wissenserwerb, nicht bloß ein dialektisches Spielzeug. Godfrey Harold Hardy, der Cambridger Mathematiker, sagte, die reductio ad absurdum sei ein glänzenderer Zug im Argumentationsspiel als das Opfer einer Figur beim Schach: Um das Spiel zu gewinnen, bietest du nicht eine einzelne Figur an, sondern das ganze Spiel. Wir finden einen solchen glänzenden Gedankenzug bei Euklid. Euklid geht die Frage an, ob die Primzahlen, die bei zunehmender Größe immer seltener werden, schließlich versanden – ob es also eine größte Primzahl gibt, über die hinaus wir keine Primzahlen mehr finden. Er bewies, dass es keine größte Primzahl gibt, indem er annahm, es gebe eine! Nehmen wir an, P ist die größte Primzahl. Dann multiplizieren wir alle in P enthaltenen Primzahlen einschließlich P selbst und addieren zu der so gewonnenen Zahl eine 1. Die resultierende Zahl, nennen wir sie N, hat offensichtlich keine der Primzahlen bis einschließlich P zu ihren Primfaktoren, durch die sie teilbar wäre, denn würden wir sie durch diese Primzahlen teilen, bliebe immer ein Rest von 1 (die wir zum Ergebnis der Multiplikation aller Primfaktoren von P einschließlich P hinzuaddiert haben; die Zahl 1 selbst gilt nicht als Primzahl). Also wird diese Zahl N einen Primfaktor haben, der in der Reihe der in P enthaltenen Primfaktoren einschließlich P nicht vorkommt. Somit erschöpft diese Reihe anders als vorausgesetzt nicht die Menge der Primzahlen. N kann natürlich selbst eine Primzahl sein, aber dann ist N ja klarerweise größer als P, so dass das Ergebnis dasselbe bleibt, auch wenn die Zahl N ihr einziger eigener Primfaktor sein sollte. Demnach ist P nicht die größte Primzahl. Wir haben dieses Ergebnis gewonnen, indem wir annahmen (nicht bejahten), dass P die größte Primzahl sei, und dazu haben wir noch einige offensichtliche Wahrheiten über Zahlen in unsere Überlegungen eingebaut – Wahrheiten, die wir bejaht haben. Am Ende sind wir berechtigt, die Aussage zu bejahen, dass P nicht die größte Primzahl ist, ungeachtet dessen, welche Primzahl P immer sein mag. Ergo gilt aufgrund der reductio ad absurdum: Es gibt keine größte Primzahl.